A Árvore de Pitágoras

Yolanda Kioko Saito Furuya

A figura utilizada como símbolo do Hipertexto Pitágoras foi gerada pelo aplicativo computacional algébrico Maple V R4. Adaptamos um programa de autoria de Harm Derksen. Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura representativa do Teorema de Pitágoras (um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados).

Para compreender a construção desse fractal começaremos estudando sua versão bidimensional. Observe na figura abaixo que o primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de Pitágoras, constituída por um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados. No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos com hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição ao primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do Teorema de Pitágoras. No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.

Esta versão bidimensional da Árvore de Pitágoras tem 128 triângulos e quadrados, e foi obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws no final deste texto, em Referências.

A Árvore de Pitágoras tridimensional pode ser obtida de forma semelhante, com algumas adaptações, para facilitar a colagem:



utilizar triângulos retângulos isósceles;

a profundidade w do conjunto-base (triângulo retângulo e seus quadrados, formando uma forquilha) deve ser tal que h/w = w/c, onde h = hipotenusa e c = cateto, para que o triângulo retângulo seguinte tenha hipotenusa = w e profundidade = c, colado com uma rotação de 90 graus;

o comprimento dos galhos pode ser aumentado, degenerando quadrados em retângulos;

para simplificar o programa, podemos modificar o conjunto base: utilizar um galho da forquilha descrita acima, isto é, o quadrado da hipotenusa e o triângulo retângulo, com profundidade w.

Versão tridimensional da Árvore de Pitágoras, obtida com o aplicativo computacional Maple V. Clicando com o mouse sobre a figura você pode ver o programa em um arquivo para leitura (formato .txt). Se você dispõe do Maple e deseja implementar o programa, pode obtê-lo no formato .mws logo abaixo, em Referências.